Упр.6.74 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что любые две медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении $$2:1$$, считая от вершины.
2. Докажите, что все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Проведём в треугольнике $$ABC$$ медианы $$AA_1$$ и $$BB_1$$, пересекающиеся в точке $$M$$.

Пусть $$PQ$$ — средняя линия треугольника $$AMB$$, параллельная стороне $$AB$$. Тогда $$P$$ — середина отрезка $$AM$$, а $$Q$$ — середина отрезка $$BM$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$A_1B_1QP$$. Так как $$A_1B_1$$ и $$PQ$$ — средние линии треугольников $$ACB$$ и $$AMB$$, то

$$A_1B_1 \parallel PQ,\qquad A_1B_1=PQ.$$

Следовательно, $$A_1B_1QP$$ — параллелограмм. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, значит, точка $$M$$ — середина диагонали $$A_1P$$. Тогда

$$A_1M=MP.$$

Но $$P$$ — середина $$AM$$, поэтому

$$AP=PM.$$

Отсюда

$$AP=PM=A_1M,$$

то есть

$$AM=A_1M+AM?$$

Удобнее записать так: из равенства $$AP=PM$$ и $$A_1M=MP$$ получаем, что

$$AP=PM=A_1M,$$

а значит,

$$AM=AP+PM=2\cdot A_1M.$$

Следовательно, точка $$M$$ делит медиану $$AA_1$$ в отношении

$$AM:MA_1=2:1,$$

считая от вершины $$A$$.

Аналогично доказывается, что точка $$M$$ делит медиану $$BB_1$$ в отношении

$$BM:MB_1=2:1.$$

Теперь рассмотрим медиану, проведённую из вершины $$C$$. Если бы она не проходила через точку $$M$$, то точка пересечения медиан $$AA_1$$ и $$BB_1$$ не могла бы одновременно делить обе медианы в отношении $$2:1$$. Значит, и третья медиана проходит через ту же точку $$M$$.

Итак, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, а точка их пересечения делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины.