Упр.7.72 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Какой из углов больше — $$\alpha$$ или $$\beta$$, если: 1) $$\sin\alpha=\frac{1}{3}$$, $$\sin\beta=\frac{1}{4}$$; 2) $$\sin\alpha=\frac{2}{3}$$, $$\sin\beta=\frac{3}{4}$$; 3) $$\cos\alpha=\frac{3}{7}$$, $$\cos\beta=\frac{2}{5}$$; 4) $$\cos\alpha=0{,}75$$, $$\cos\beta=0{,}74$$; 5) $$\tg\alpha=2{,}1$$, $$\tg\beta=2{,}5$$; 6) $$\ctg\alpha=\frac{8}{3}$$, $$\ctg\beta=\frac{5}{2}$$?

Используем свойства монотонности тригонометрических функций для острых углов: при увеличении угла $$\sin$$ и $$\tg$$ возрастают, а $$\cos$$ и $$\ctg$$ убывают.

1. $$\sin \alpha=\frac13,\quad \sin \beta=\frac14.$$

   Так как $$\frac13>\frac14,$$ то $$\sin \alpha>\sin \beta,$$ значит, $$\alpha>\beta.$$

2. $$\sin \alpha=\frac23,\quad \sin \beta=\frac34.$$

   Так как $$\frac23<\frac34,$$ то $$\sin \alpha<\sin \beta,$$ значит, $$\beta>\alpha.$$

3. $$\cos \alpha=\frac37,\quad \cos \beta=\frac25.$$

   Так как $$\frac37\approx 0{,}43,\quad \frac25=0{,}4,$$ то $$\cos \alpha>\cos \beta.$$

   Косинус убывает при увеличении угла, значит, $$\alpha<\beta.$$

4. $$\cos \alpha=0{,}75,\quad \cos \beta=0{,}74.$$

   Так как $$0{,}75>0{,}74,$$ то $$\cos \alpha>\cos \beta,$$ значит, $$\alpha<\beta.$$

5. $$\tg \alpha=2{,}1,\quad \tg \beta=2{,}5.$$

   Так как $$2{,}1<2{,}5,$$ то $$\tg \alpha<\tg \beta,$$ значит, $$\alpha<\beta.$$

6. $$\ctg \alpha=\frac83,\quad \ctg \beta=\frac52.$$

   Так как $$\frac83\approx 2{,}67,\quad \frac52=2{,}5,$$ то $$\ctg \alpha>\ctg \beta.$$

   Котангенс убывает при увеличении угла, значит, $$\alpha<\beta.$$

Ответ: 1) $$\alpha>\beta$$; 2) $$\beta>\alpha$$; 3) $$\beta>\alpha$$; 4) $$\beta>\alpha$$; 5) $$\beta>\alpha$$; 6) $$\beta>\alpha$$.