Упр.6.72 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Построить: трапецию по основаниям и диагоналям;
Построение:
1) Пусть даны отрезки a и b (a > b), равные основаниям трапеции и
отрезки d1 и d2, равные ее диагоналям.
2) На произвольной прямой построим отрезок AD, равный a;
3) На той же прямой отложим отрезок DK, не лежащий на луче DA,
равный b;
4) Из точки K проведем окружность радиуса d2, а из точки A проведем
окружность радиуса d1, отметим точку C на их пересечении;
5) Из точки D проведем окружность радиуса d2, а из точки C проведем
окружность радиуса b, отметим точку B на их пересечении;
6) BC||AD, так как DB=CK=d2 и BC=DK=b, следовательно
ABCK-параллелограмм;
7) ABCD-искомая трапеция

Подробный ответ

Пусть основания трапеции равны $$a$$ и $$b$$, где $$a>b$$, а диагонали равны $$d_1$$ и $$d_2$$.

1) На произвольной прямой построим отрезок $$AD=a$$.

2) На той же прямой отложим отрезок $$DK=b$$ так, чтобы точка $$K$$ не лежала на луче $$DA$$.

3) Из точки $$A$$ проведём окружность радиуса $$d_1$$, а из точки $$K$$ — окружность радиуса $$d_2$$. Обозначим через $$C$$ одну из точек их пересечения.

4) Из точки $$D$$ проведём окружность радиуса $$d_2$$, а из точки $$C$$ — окружность радиуса $$b$$. Обозначим через $$B$$ одну из точек их пересечения.

Тогда $$CK=b$$ и $$BC=b$$, значит, четырёхугольник $$BCKD$$ — параллелограмм, следовательно, $$BC \parallel DK$$. Но точки $$A, D, K$$ лежат на одной прямой, поэтому $$DK \parallel AD$$. Значит, $$BC \parallel AD$$.

Итак, четырёхугольник $$ABCD$$ имеет одну пару параллельных сторон, то есть $$ABCD$$ — искомая трапеция.