Упр.7.71 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: диагонали ромба равны a и av3;
Найти: углы ромба;
Решение:
1) Пусть ABCD-данный ромб, у которого: AC=av3, BD=a и
O-точка пересечения диагоналей;
2) Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой их
пересечения делятся пополам, значит:
AC перпендикулярен BD, AO=OC=(av3)/2 и BO=OD=a/2;
3) Рассмотрим прямоугольный треугольник BOC:
tg угол OBC=OC/BO=(av3)/2•2/a=v3, отсюда угол BOC=60°;
угол BCO=90°- угол BOC=90°-60°=30°;
4) Диагонали ромба являются биссетрисами его углов, значит:
угол D = углу B=2•угол BOC=2•60°=120°;
угол A = углу C=2•угол BCO=2•30°=60°;
Ответ: 60° и 120°.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данный ромб, $$AC=a\sqrt{3}$$, $$BD=a$$, а $$O$$ — точка пересечения диагоналей.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам, значит

$$AC \perp BD, \quad AO=OC=\frac{a\sqrt{3}}{2}, \quad BO=OD=\frac{a}{2}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BOC$$:

$$\tg \angle OBC=\frac{OC}{BO}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a}{2}}=\sqrt{3}.$$

Следовательно, $$\angle OBC=60^\circ$$, а тогда

$$\angle BCO=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому

$$\angle B=2\angle OBC=2\cdot 60^\circ=120^\circ,$$

$$\angle A=2\angle BCO=2\cdot 30^\circ=60^\circ.$$

Противоположные углы ромба равны, значит $$\angle C=\angle A=60^\circ$$ и $$\angle D=\angle B=120^\circ$$.