Упр.7.71 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Диагонали ромба равны $$a$$ и $$a\sqrt{3}$$. Найдите углы ромба.

Пусть $$ABCD$$ — данный ромб, $$AC=a\sqrt{3}$$, $$BD=a$$, а $$O$$ — точка пересечения диагоналей.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам, значит

$$AC\perp BD,$$

$$AO=OC=\frac{a\sqrt{3}}{2}, \qquad BO=OD=\frac{a}{2}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BOC$$. Тогда

$$\tg \angle OBC=\frac{OC}{BO}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a}{2}}=\sqrt{3}.$$

Следовательно, $$\angle OBC=60^\circ$$, а значит

$$\angle BCO=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому

$$\angle B=2\angle OBC=2\cdot 60^\circ=120^\circ,$$

$$\angle A=2\angle BCO=2\cdot 30^\circ=60^\circ.$$

Итак, углы ромба равны $$60^\circ$$ и $$120^\circ$$.

Ответ: $$60^\circ$$ и $$120^\circ$$.