Упр.7.70 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: диагональ прямоугольника в 2 раза больше одной из его сторон;
Найти: углы между диагоналями;
Решение:
1) Пусть ABCD-данный прямоугольник и O-точка пересечения
диагоналей;
2) Пусть AD=BC=x, тогда DB=AC=2x;
3) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD:
sin угла ABD?=AD/BD=x/2x=1/2, отсюда угол B=30°;
4) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC:
sin угла CAB?=BC/AC=x/2x=1/2, отсюда угол A=30°;
5) В треугольнике ABO:
угол AOB=180°- угол OAB- угол ABO=180°-2•30°=120°;
6) угол AOD+ угол AOB=180° (как смежные углы), отсюда:
угол AOD=180°- угол AOB=180°-120°=60°;
Ответ: 120° и 60°.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данный прямоугольник, а $$O$$ — точка пересечения его диагоналей. Обозначим $$AD=BC=x$$, тогда по условию $$AC=BD=2x$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABD$$. Тогда

$$\sin \angle ABD=\frac{AD}{BD}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2},$$

откуда $$\angle ABD=30^\circ$$.

Аналогично в прямоугольном треугольнике $$ABC$$ получаем

$$\sin \angle CAB=\frac{BC}{AC}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2},$$

значит, $$\angle CAB=30^\circ$$.

Теперь рассмотрим треугольник $$AOB$$. Так как $$O$$ лежит на диагонали $$AC$$, то $$\angle OAB=\angle CAB=30^\circ$$, а $$\angle ABO=\angle ABD=30^\circ$$. Тогда

$$\angle AOB=180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ.$$

Смежный с ним угол между диагоналями равен

$$\angle AOD=180^\circ-120^\circ=60^\circ.$$