Упр.7.70 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Диагональ прямоугольника в 2 раза больше одной из его сторон. Найдите углы между диагоналями.

Пусть $$ABCD$$ — данный прямоугольник, $$O$$ — точка пересечения его диагоналей. Обозначим $$AD=BC=x$$, тогда по условию $$AC=BD=2x$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABD$$. Тогда

$$\sin \angle ABD=\frac{AD}{BD}=\frac{x}{2x}=\frac12,$$

откуда $$\angle ABD=30^\circ$$.

Аналогично в прямоугольном треугольнике $$ABC$$ получаем

$$\sin \angle CAB=\frac{BC}{AC}=\frac{x}{2x}=\frac12,$$

значит, $$\angle CAB=30^\circ$$.

Теперь рассмотрим треугольник $$AOB$$. Так как $$O$$ лежит на диагонали $$AC$$, то $$\angle OAB=\angle CAB=30^\circ$$, а $$\angle ABO=\angle ABD=30^\circ$$. Тогда

$$\angle AOB=180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ.$$

Смежный с ним угол между диагоналями равен

$$\angle AOD=180^\circ-120^\circ=60^\circ.$$

Ответ: $$120^\circ$$ и $$60^\circ$$.