Вопрос 7 Параграф 6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то он является параллелограммом.

Пусть $$ABCD$$ — данный четырёхугольник, а $$O$$ — точка пересечения его диагоналей.

Рассмотрим треугольники $$AOD$$ и $$COB$$. Имеем:

$$\angle AOD=\angle BOC$$ — как вертикальные углы,

$$OA=OC$$ и $$OD=OB$$ — по условию.

Следовательно, $$\triangle AOD=\triangle COB$$ по первому признаку равенства треугольников. Тогда $$\angle ODA=\angle OBC$$.

Углы $$\angle ODA$$ и $$\angle OBC$$ — накрест лежащие при прямых $$AD$$ и $$BC$$ и секущей $$BD$$. Значит, $$AD\parallel BC$$.

Аналогично, из равенства треугольников $$AOB$$ и $$COD$$ получаем $$AB\parallel CD$$.

Итак, обе пары противоположных сторон четырёхугольника параллельны, значит, $$ABCD$$ — параллелограмм.

Ответ: четырёхугольник является параллелограммом.