Упр.5.7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что около любого треугольника можно описать окружность, и только одну.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник. Обозначим через $$A_1$$ и $$B_1$$ середины сторон $$BC$$ и $$AC$$. Проведём через точки $$A_1$$ и $$B_1$$ перпендикуляры к соответствующим сторонам треугольника.

Эти перпендикуляры пересекутся в некоторой точке $$O$$. Точка пересечения единственна, так как две прямые могут иметь только одну общую точку.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AOB_1$$ и $$COB_1$$. У них:

$$OB_1$$ — общий катет;
$$B_1A = B_1C$$, так как $$B_1$$ — середина стороны $$AC$$;
$$\angle OB_1A = \angle OB_1C = 90^\circ$$.

Следовательно, $$\triangle AOB_1 \cong \triangle COB_1$$ по двум катетам, откуда $$AO=OC$$.

Аналогично, прямоугольные треугольники $$COA_1$$ и $$BOA_1$$ равны по двум катетам, поэтому $$OC=OB$$.

Итак, $$AO=BO=CO$$. Значит, точка $$O$$ равноудалена от вершин треугольника $$ABC$$, следовательно, она является центром окружности, описанной около треугольника $$ABC$$.

Так как точка $$O$$ определяется единственным образом, то и описанная около треугольника окружность единственна.

Ответ: около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну.