Вопрос 7 Параграф 8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Вывести: уравнение окружности;
Решение:
1) Составим уравнение окружности с центром в точке A0 (a; b) и
радиусом R;
2) Возьмем произвольную точку A(x; y) на этой окружности, расстояние
от нее до центра A0 равно R;
3) Согласно формуле расстояния между точками:
R^2=(x-a)^2+(y-b)^2;
4) Так как точка A случайная, то это уравнение удовлетворяет каждой
точке окружности, и обратно: любая точка A, координаты которой
удовлетворяют данному уравнению, принадлежит окружности, так как
расстояние от нее то точки A0 равно R;
5) Отсюда следует, что данное уравнение явлется уравнение окружности
с центром A0 и радиусом R;
Ответ: R^2=(x-a)^2+(y-b)^2.

Подробный ответ

Пусть центр окружности имеет координаты $$A_0(a;b)$$, а радиус равен $$R$$. Возьмём произвольную точку $$A(x;y)$$ на окружности. Тогда расстояние от точки $$A$$ до центра $$A_0$$ равно радиусу:

$$A_0A=R.$$

По формуле расстояния между точками получаем:

$$A_0A^2=(x-a)^2+(y-b)^2.$$

Так как $$A_0A=R$$, то

$$R^2=(x-a)^2+(y-b)^2.$$

Это уравнение выполняется для любой точки окружности, и наоборот, любая точка, координаты которой удовлетворяют этому уравнению, принадлежит окружности. Значит, это и есть уравнение окружности с центром $$A_0(a;b)$$ и радиусом $$R$$.