Вопрос 7 Параграф 7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Неравенство треугольника: каковы бы ни были три точки, расстояние
между двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до
третьей точки;
Доказательство:
1) Пусть A, B, C-три данные точки;
2) Если какие либо две точки из трех или все три точки совпадают, то
утверждение теоремы очевидно;
3) Если все три точки различны и лежат на одной прямой, то одна из
них лежит между двум другими, например B;
4) В этом случае: AB+BC=AC, отсюда следует, что каждое из
расстояний не больше суммы двух других;
5) Рассмотрим случай, когда три точки не лежат на одной прямой;
6) Проведем перпендикуляр CD на прямую AB: AB=AD+BD;
7) AD < AC и BD < BC (как наклонные и их проекции), отсюда следует, что AB < AC+BC, что и требовалось доказать.

Докажем неравенство треугольника: расстояние между двумя точками не больше суммы расстояний от них до третьей точки.

Пусть даны точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$.

Если какие-либо две точки совпадают или все три точки совпадают, утверждение очевидно.

Рассмотрим случай, когда точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ лежат на одной прямой. Тогда одна из них лежит между двумя другими, например $$B$$ между $$A$$ и $$C$$. В этом случае

$$AB+BC=AC,$$

значит, каждое из расстояний $$AB$$, $$BC$$, $$AC$$ не больше суммы двух других.

Теперь рассмотрим случай, когда точки не лежат на одной прямой. Проведём из точки $$C$$ перпендикуляр $$CD$$ к прямой $$AB$$. Тогда

$$AB=AD+DB.$$

Так как $$AC$$ и $$BC$$ — наклонные к прямой $$AB$$, а $$AD$$ и $$BD$$ — их проекции, то

$$AD<AC,\qquad BD<BC.$$

Складывая эти неравенства, получаем

$$AB=AD+DB<AC+BC.$$

Следовательно, расстояние между двумя точками меньше суммы расстояний от них до третьей точки. Неравенство треугольника доказано.