Упр.15.7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дан треугольник $$ABC$$. Плоскость, параллельная прямой $$AB$$, пересекает сторону $$AC$$ этого треугольника в точке $$A_1$$, а сторону $$BC$$ — в точке $$B_1$$. Найдите длину отрезка $$A_1B_1$$, если:
1) $$AB=15\text{ см}$$, $$AA_1:AC=2:3$$;
2) $$AB=8\text{ см}$$, $$AA_1:A_1C=5:3$$;
3) $$B_1C=10\text{ см}$$, $$AB:BC=4:5$$;
4) $$AA_1=a$$, $$AB=b$$, $$A_1C=c$$.

Подробный ответ

Так как плоскость пересекает стороны $$AC$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$ и параллельна прямой $$AB$$, то прямая $$A_1B_1$$ лежит в этой плоскости и параллельна $$AB$$. Следовательно, в треугольнике $$ABC$$ прямая $$A_1B_1$$ параллельна стороне $$AB$$, значит,

$$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C.$$

Отсюда

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C}=\frac{BC}{B_1C}.$$

Если $$AB=15$$ см и $$AA_1:AC=2:3$$, то пусть $$AA_1=2x$$, $$AC=3x$$. Тогда
$$A_1C=AC-AA_1=3x-2x=x.$$
По подобию треугольников
$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C}=\frac{3x}{x}=3,$$
значит,
$$A_1B_1=\frac{AB}{3}=\frac{15}{3}=5\text{ см}.$$
Если $$AB=8$$ см и $$AA_1:A_1C=5:3$$, то пусть $$AA_1=5x$$, $$A_1C=3x$$. Тогда
$$AC=AA_1+A_1C=5x+3x=8x.$$
По подобию треугольников
$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C}=\frac{8x}{3x}=\frac{8}{3},$$
откуда
$$A_1B_1=\frac{AB\cdot A_1C}{AC}=\frac{8\cdot 3x}{8x}=3\text{ см}.$$
Если $$B_1C=10$$ см и $$AB:BC=4:5$$, то пусть $$AB=4x$$, $$BC=5x$$. Тогда
$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C},$$
следовательно,
$$A_1B_1=\frac{AB\cdot B_1C}{BC}=\frac{4x\cdot 10}{5x}=8\text{ см}.$$
Если $$AA_1=a$$, $$AB=b$$, $$A_1C=c$$, то
$$AC=AA_1+A_1C=a+c.$$
По подобию треугольников
$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C}=\frac{a+c}{c},$$
откуда
$$A_1B_1=\frac{AB\cdot A_1C}{AC}=\frac{bc}{a+c}.$$