Упр.13.7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что если концы ломаной лежат по разные стороны от данной прямой, то она пересекает эту прямую (рис. 294).

Пусть $$c$$ — данная прямая, которая разбивает плоскость на две полуплоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$. Рассмотрим ломаную $$A_1A_2\dots A_n$$, у которой точка $$A_1$$ лежит в полуплоскости $$\alpha$$, а точка $$A_n$$ — в полуплоскости $$\beta$$.

Все вершины ломаной принадлежат либо полуплоскости $$\alpha$$, либо полуплоскости $$\beta$$, либо прямой $$c$$.

Если хотя бы одна вершина $$A_k$$ лежит на прямой $$c$$, то ломаная пересекает прямую $$c$$ в точке $$A_k$$.

Рассмотрим теперь случай, когда ни одна вершина ломаной не лежит на прямой $$c$$. Тогда, последовательно переходя от $$A_1$$ к $$A_n$$, найдём такую вершину $$A_k$$, что $$A_k \in \alpha$$, а $$A_{k+1} \in \beta$$.

Отрезок $$A_kA_{k+1}$$ имеет концы в разных полуплоскостях, на которые прямая $$c$$ разбивает плоскость, значит, он пересекает прямую $$c$$.

Так как отрезок $$A_kA_{k+1}$$ является частью ломаной, то и вся ломаная пересекает прямую $$c$$.