Упр.12.7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Даны стороны треугольника $$a$$, $$b$$, $$c$$. Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону $$c$$.

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, где $$AB=c$$, $$AC=b$$, $$BC=a$$. Опустим высоту $$CD$$ на сторону $$AB$$.

Тогда в прямоугольных треугольниках $$ACD$$ и $$BCD$$ по теореме Пифагора имеем:

$$AD^2+CD^2=b^2,$$

$$BD^2+CD^2=a^2.$$

Кроме того, $$AD+BD=AB=c$$. Выразим $$AD$$ и $$BD$$ через стороны треугольника. Из теоремы косинусов для треугольников $$ACD$$ и $$BCD$$ получаем:

$$a^2=b^2+c^2-2c\cdot AD,$$

откуда
$$AD=\frac{b^2+c^2-a^2}{2c};$$

$$b^2=a^2+c^2-2c\cdot BD,$$

откуда
$$BD=\frac{a^2+c^2-b^2}{2c}.$$

Теперь найдём высоту:

$$CD=\sqrt{b^2-AD^2}=\sqrt{b^2-\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2c}\right)^2}.$$

Аналогично можно записать:

$$CD=\sqrt{a^2-BD^2}=\sqrt{a^2-\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2c}\right)^2}.$$

Ответ: $$CD=\sqrt{b^2-\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2c}\right)^2}$$ или $$CD=\sqrt{a^2-\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2c}\right)^2}$$.