Упр.9.7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Выяснить: может ли у треугольника быть центр симметрии;
Решение:
1) Центрально-симметричные фигуры при преобразовании симметрии
относительно некторой точки переходят сами в себя, следовательно
у многоугольников вершины переходят в другие вершины или сами в
себя (если эта вершина является центром симметрии);
2) Так как вершины треугольника не могут лежать на одной прямой,
то ни одна из его вершин не является центром симметрии;
3) Допустим, что у треугольника ABC существует центр симметрии в
точке O, тогда его вершины при преобразовании симметрии относительно
точки O переходят в другие вершины;
4) Если вершина A переходит в вершину B, то точка O лежит на середине
стороны AB, значит вершина C не переходит ни в какую другую вершину
(так как ни точка A ни точка B не лежат на медиане OC);
5) Аналогично, если точка A переходит в точку C, то точка B не переходит
ни в какую другую вершину;
6) Следовательно наше предположение неверно и такой точки O не
существует;
Ответ: не может.

При центральной симметрии относительно точки каждая вершина фигуры переходит в другую вершину или в саму себя. Для треугольника это невозможно.

Действительно, пусть у треугольника $$ABC$$ есть центр симметрии в точке $$O$$. Тогда при симметрии относительно точки $$O$$ вершины треугольника должны попарно переходить друг в друга.

Если, например, $$A$$ переходит в $$B$$, то точка $$O$$ является серединой отрезка $$AB$$. Но тогда вершина $$C$$ должна перейти в какую-то другую вершину треугольника, а это невозможно: у треугольника всего три вершины, и одна из них уже занята парой $$A$$ и $$B$$.

Аналогично невозможно, чтобы $$A$$ переходила в $$C$$ или $$B$$ переходила в $$C$$. Значит, предположение о существовании центра симметрии у треугольника неверно.

Следовательно, у треугольника центра симметрии нет.

Ответ: не может.