Упр.11.69 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дан треугольник $$ABC$$. Постройте геометрическое место точек, из которых отрезок $$AB$$ виден под углом, равным углу $$A$$ этого треугольника.

Подробный ответ

Построим сначала одну точку, для которой угол $$\angle AXB$$ равен данному углу $$\angle A$$.

Возьмём на прямой $$AC$$ точку $$A_1$$ так, чтобы $$BA_1=BA$$. Тогда треугольник $$ABA_1$$ равнобедренный, значит его углы при основании равны:

$$\angle AA_1B=\angle A.$$

Теперь построим окружность, описанную около треугольника $$ABA_1$$. Для этого проведём серединные перпендикуляры к отрезкам $$AB$$ и $$A_1B$$; их пересечение обозначим через $$O$$. Тогда точка $$O$$ — центр описанной окружности, а сама окружность проходит через точки $$A$$, $$B$$ и $$A_1$$.

Рассмотрим любую точку $$X$$ на дуге этой окружности, содержащей точку $$A_1$$. Тогда вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду $$AB$$, равны, поэтому

$$\angle AXB=\angle AA_1B=\angle A.$$

Следовательно, искомое геометрическое место точек — дуга окружности, проходящей через точки $$A$$, $$B$$ и $$A_1$$ и содержащей точку $$A_1$$.

Ответ: дуга окружности, описанной около треугольника $$ABA_1$$, содержащая точку $$A_1$$.