Упр.11.69 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дано: треугольник ABC;
Построить: геометрическое место точек, из которых отрезок AB виден
под углом, равным углу A этого треугольника;
Построение:
1) Пусть ABC-данный треугольник.
2) Из точки B проведем окружность радиуса BA и отметим точку A1
на пересечении этой окружности и прямой AC;
3) треугольник ABA1-равнобедренный, значит: угол A1 = углу A;
4) Построим серединные перпендикуляры к отрезкам AB и A1 B и
отметим точку O на их пересечении;
5) Из точки O проведем окружность радиуса OA, данная окружность
описана около треугольника ABA1;
6) Любая точка X дуги окружности, содержащей точку A1 будет
вершиной вписанного угла, опирающегося на хорду AB, на которую
опирается и угол AA1 B, значит: угол AXB = углу AA1 B = углу A;
7) Следовательно дуга окружности, содержащая точку A1-искомая.

Построим на стороне $$AC$$ точку $$A_1$$ так, чтобы $$BA_1=BA$$. Тогда треугольник $$ABA_1$$ равнобедренный, поэтому его углы при основании равны:

$$\angle AA_1B=\angle A.$$

Теперь рассмотрим окружность, описанную около треугольника $$ABA_1$$. Для любой точки $$X$$ на дуге этой окружности, содержащей точку $$A_1$$, угол $$\angle AXB$$ является вписанным углом, опирающимся на хорду $$AB$$. Следовательно,

$$\angle AXB=\angle AA_1B=\angle A.$$

Значит, искомое геометрическое место точек — дуга окружности, проходящая через точки $$A$$ и $$B$$ и содержащая точку $$A_1$$.

Ответ

Искомое геометрическое место точек — дуга окружности, на которой хорда $$AB$$ видна под углом $$\angle A$$, то есть дуга описанной около треугольника $$ABA_1$$ окружности, содержащая точку $$A_1$$.