Упр.7.68 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: в треугольнике один из углов при основании равен 45°, а
высота делит основание на части 20 см и 21 см;
Найти: большую боковую сторону;
1) Пусть ABC-данный треугольник с угол A=45° и CH-его высота;
2) Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH:
tg угол A=CH/AH, отсюда CH=tg угол A•AH;
AC=v(AH^2+CH^2);
4) По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике BCH:
BC=v(BH^2+CH^2);

Подробный ответ

Обозначим данный треугольник через $$ABC$$, где $$CH$$ — высота, опущенная на основание $$AB$$. По условию один из углов при основании равен $$45^\circ$$, значит можно считать, что $$\angle A=45^\circ$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACH$$. Тогда

$$\tg \angle A=\frac{CH}{AH}.$$

Так как $$\tg 45^\circ=1$$, то

$$CH=AH.$$

Теперь найдём боковые стороны по теореме Пифагора.

Если $$AH=20$$ см, $$BH=21$$ см, то

$$CH=20\text{ см},$$

$$AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{20^2+20^2}=\sqrt{800}=20\sqrt{2}\approx 28{,}3\text{ см},$$

$$BC=\sqrt{BH^2+CH^2}=\sqrt{21^2+20^2}=\sqrt{841}=29\text{ см}.$$

Если $$AH=21$$ см, $$BH=20$$ см, то

$$CH=21\text{ см},$$

$$AC=\sqrt{21^2+21^2}=\sqrt{882}=21\sqrt{2}\approx 29{,}7\text{ см},$$

$$BC=\sqrt{20^2+21^2}=\sqrt{841}=29\text{ см}.$$

В обоих случаях большая боковая сторона равна $$29\text{ см}$$ или $$\sqrt{882}\approx 29{,}7\text{ см}$$. Следовательно, наибольшая из боковых сторон — $$29{,}7\text{ см}$$.