Упр.11.68 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Угол между касательными, проведёнными из одной точки к окружности, равен $$50^\circ$$. Найдите градусные меры дуг этой окружности, заключённых между точками касания.

Пусть $$O$$ — центр окружности, $$A$$ и $$B$$ — точки касания, а $$C$$ — точка, из которой проведены касательные.

Так как радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным, то $$OA \perp CA$$ и $$OB \perp CB$$. Следовательно, в четырёхугольнике $$AOCB$$ углы при точках $$A$$ и $$B$$ равны $$90^\circ$$.

Тогда

$$\angle AOB+\angle ACB=180^\circ.$$

По условию $$\angle ACB=50^\circ$$, значит

$$\angle AOB=180^\circ-50^\circ=130^\circ.$$

Центральный угол равен градусной мере меньшей дуги, на которую он опирается, поэтому меньшая дуга $$AB$$ равна $$130^\circ$$.

Большая дуга равна

$$360^\circ-130^\circ=230^\circ.$$

Ответ: $$130^\circ$$ и $$230^\circ$$.