Упр.6.68 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Концы диаметра удалены от касательной к окружности на $$1{,}6\ \text{м}$$ и $$0{,}6\ \text{м}$$. Найдите длину диаметра.

Пусть $$O$$ — центр окружности, $$a$$ — касательная, $$H$$ — точка касания, $$AB$$ — диаметр.

Из свойства касательной имеем $$OH \perp a.$$

Опустим из точек $$A$$ и $$B$$ перпендикуляры на прямую $$a$$: $$AD \perp a,\quad BC \perp a,$$ где $$AD=1{,}6\text{ м},\quad BC=0{,}6\text{ м}.$$

Так как $$AD \perp a,\quad BC \perp a,\quad OH \perp a,$$ то $$AD \parallel OH \parallel BC.$$

Точки $$A$$ и $$B$$ лежат на окружности, значит $$AO=BO$$ как радиусы. Следовательно, в трапеции $$ADCB$$ отрезок $$OH$$ проходит через середину, то есть является средней линией. Тогда

$$OH=\frac{AD+BC}{2}.$$

Диаметр равен удвоенному радиусу:

$$AB=2OH=AD+BC=1{,}6+0{,}6=2{,}2\text{ м}.$$

Ответ: $$2{,}2$$ м.