Упр.11.67 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Хорда делит окружность на части, отношение которых равно $$3:7$$. Найдите углы, которые образует эта хорда с касательной к окружности, проведённой в её конце.

Пусть хорда $$AB$$ делит окружность на дуги в отношении $$3:7$$. Тогда соответствующие центральные углы относятся так же.

Обозначим меньший центральный угол через $$x$$, тогда больший равен $$360^\circ-x$$. По условию

$$x:(360^\circ-x)=3:7.$$

Отсюда

$$7x=3(360^\circ-x),$$

$$7x=1080^\circ-3x,$$

$$10x=1080^\circ,$$

$$x=108^\circ.$$

Тогда больший центральный угол равен

$$360^\circ-108^\circ=252^\circ.$$

Угол между касательной и хордой равен половине соответствующего центрального угла. Поэтому искомые углы равны

$$\frac{108^\circ}{2}=54^\circ$$

и

$$\frac{252^\circ}{2}=126^\circ.$$

Ответ: $$54^\circ$$ и $$126^\circ$$.