Упр.7.67 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите радиус $$r$$ окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $$a$$, и радиус $$R$$ окружности, описанной около него.

Пусть $$ABC$$ — данный равносторонний треугольник, тогда $$AB=BC=CA=a$$.

Проведём высоты $$AA_1$$ и $$BB_1$$. В равностороннем треугольнике высоты являются одновременно медианами и биссектрисами, поэтому точка их пересечения $$O$$ — центр и вписанной, и описанной окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BB_1C$$. Так как $$B_1C=\frac{1}{2}AC=\frac{a}{2}$$, то

$$BB_1=\sqrt{BC^2-B_1C^2} =\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} =\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}} =\sqrt{\frac{3a^2}{4}} =\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Точка $$O$$ делит медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины. Поэтому

$$R=OB=\frac{2}{3}\,BB_1=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{\sqrt{3}},$$

$$r=OB_1=\frac{1}{3}\,BB_1=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{2\sqrt{3}}.$$

Ответ: $$R=\frac{a}{\sqrt{3}},\quad r=\frac{a}{2\sqrt{3}}.$$