Упр.15.66 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Поверхности двух шаров относятся как $$m:n$$. Как относятся их объёмы?

Пусть $$R_1$$ и $$R_2$$ — радиусы этих шаров. Тогда площадь поверхности шара равна $$S=4\pi R^2$$, поэтому

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{4\pi R_1^2}{4\pi R_2^2}=\frac{m}{n}.$$

Отсюда

$$\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2=\frac{m}{n}, \qquad \frac{R_1}{R_2}=\sqrt{\frac{m}{n}}.$$

Объём шара равен $$V=\frac{4}{3}\pi R^3$$, значит

$$\frac{V_1}{V_2}=\frac{4\pi R_1^3/3}{4\pi R_2^3/3}=\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3 =\left(\sqrt{\frac{m}{n}}\right)^3 =\sqrt{\frac{m^3}{n^3}}.$$

Ответ: $$\sqrt{m^3}:\sqrt{n^3}$$.