Упр.6.66 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. По разные стороны от прямой $$a$$ даны две точки $$A$$ и $$B$$ на расстояниях $$10\text{ см}$$ и $$4\text{ см}$$ от неё. Найдите расстояние от середины отрезка $$AB$$ до прямой $$a$$.

Из точек $$A$$ и $$B$$ опустим на прямую $$a$$ перпендикуляры $$AD$$ и $$BC$$. Тогда $$AD=10$$ см, $$BC=4$$ см.

Так как $$AD \perp a$$ и $$BC \perp a$$, то $$AD \parallel BC$$. Следовательно, $$ABCD$$ — трапеция.

Через точку $$O$$ — середину отрезка $$AB$$ — проведём прямую, параллельную основаниям трапеции. Она пересечёт отрезки $$AC$$, $$CD$$ и $$BD$$ в точках $$E$$, $$H$$ и $$E_1$$ соответственно.

Так как $$AO=OB$$, то по теореме Фалеса получаем:

$$AE=EC,$$

$$BE_1=E_1D,$$

откуда следует, что $$CH=HD$$.

В треугольнике $$ACD$$ отрезок $$EH$$ — средняя линия, значит

$$EH=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}\cdot 10=5\text{ см}.$$

В треугольнике $$ACB$$ отрезок $$EO$$ — средняя линия, значит

$$EO=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot 4=2\text{ см}.$$

Так как $$AD \perp a$$ и $$OH \parallel AD$$, то $$OH \perp a$$. Следовательно, $$OH$$ — искомое расстояние.

$$OH=EH-EO=5-2=3\text{ см}.$$

Ответ: $$3\text{ см}$$.