Упр.7.65 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
1) cos альфа = 4/7;
2) sin альфа = 4/7;
3) sin альфа = 0,5;
4) tg альфа = 3/5;
5) ctg альфа = 0,7.
Построим для каждого случая прямоугольный треугольник с нужным отношением сторон. Тогда искомый острый угол будет углом при соответствующем катете.
1) Если $$\cos \alpha=\frac{4}{7},$$ то в прямоугольном треугольнике можно взять прилежащий катет равным $$4x,$$ а гипотенузу — $$7x.$$ Тогда второй катет:
$$ \sqrt{(7x)^2-(4x)^2}=\sqrt{49x^2-16x^2}=\sqrt{33}\,x. $$
Искомый угол $$\alpha$$ — острый угол, прилежащий к катету $$4x.$$
2) Если $$\sin \alpha=\frac{4}{7},$$ то в прямоугольном треугольнике можно взять противолежащий катет равным $$4x,$$ а гипотенузу — $$7x.$$ Тогда второй катет:
$$ \sqrt{(7x)^2-(4x)^2}=\sqrt{33}\,x. $$
Искомый угол $$\alpha$$ — острый угол, противолежащий катету $$4x.$$
3) Если $$\sin \alpha=0{,}5=\frac{1}{2},$$ то можно построить прямоугольный треугольник с отношением катета к гипотенузе $$1:2.$$ Тогда противолежащий катет равен $$x,$$ гипотенуза — $$2x,$$ а второй катет:
$$ \sqrt{(2x)^2-x^2}=\sqrt{3}\,x. $$
Искомый угол $$\alpha$$ — острый угол, противолежащий катету $$x.$$
4) Если $$\tg \alpha=\frac{3}{5},$$ то в прямоугольном треугольнике можно взять противолежащий катет равным $$3x,$$ а прилежащий — $$5x.$$ Тогда гипотенуза:
$$ \sqrt{(3x)^2+(5x)^2}=\sqrt{34}\,x. $$
Искомый угол $$\alpha$$ — острый угол, противолежащий катету $$3x.$$
5) Если $$\ctg \alpha=0{,}7=\frac{7}{10},$$ то в прямоугольном треугольнике можно взять прилежащий катет равным $$7x,$$ а противолежащий — $$10x.$$ Тогда гипотенуза:
$$ \sqrt{(7x)^2+(10x)^2}=\sqrt{149}\,x. $$
Искомый угол $$\alpha$$ — острый угол, прилежащий к катету $$7x.$$
Ответ
1) угол с $$\cos \alpha=\frac{4}{7}$$; 2) угол с $$\sin \alpha=\frac{4}{7}$$; 3) угол с $$\sin \alpha=\frac{1}{2}$$; 4) угол с $$\tg \alpha=\frac{3}{5}$$; 5) угол с $$\ctg \alpha=\frac{7}{10}$$.
