Упр.15.65 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Круговой сектор с углом $$30^\circ$$ и радиусом $$R$$ вращается около одного из боковых радиусов. Найдите объём полученного тела.

Пусть $$P$$ — вершина сектора, а $$PA$$ и $$PB$$ — его боковые радиусы. Тогда

$$\angle APB=30^\circ,\qquad AP=BP=R.$$

При вращении сектора вокруг радиуса $$BP$$ получается шаровой сектор радиуса $$R$$.

Обозначим через $$O$$ центр основания этого шарового сектора. Тогда $$AA_1$$ — диаметр основания, значит $$AA_1\perp BP$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$POA$$. В нём

$$\cos \angle OPA=\frac{OP}{AP}.$$

Так как $$\angle OPA=30^\circ$$ и $$AP=R$$, то

$$OP=R\cos 30^\circ=R\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\frac{R\sqrt3}{2}.$$

Высота шарового сектора равна

$$H=BP-OP=R-\frac{R\sqrt3}{2}=\frac{2-\sqrt3}{2}R.$$

Объём шарового сектора:

$$V=\frac{2}{3}\pi R^2H.$$

Подставим найденное значение $$H$$:

$$V=\frac{2}{3}\pi R^2\cdot \frac{2-\sqrt3}{2}R =\frac{1}{3}\pi R^3(2-\sqrt3).$$

Ответ: $$\frac{1}{3}\pi R^3(2-\sqrt3).$$