Упр.6.65 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дано: по одну сторону от прямой a даны две точки A и B на расстояниях
10 м и 20 м от нее;
Найти: расстояние от середины отрезка AB до прямой a;
Решение:
1) Из точек A и B опустим на прямую a перпендикуляры AD и BC, тогда
AD=10 м и BC=20 м;
2) AD перпендикулярен a и BC перпендикулярен a, значит AD||BC, следовательно ABCD-трапеция;
3) Из точки E-середины отрезка AB, опустим перпендикуляр EE1 на
прямую a, тогда EE1 ||AD||BC;
4) Прямые a и AB пересекаются в некоторой точке, значит они являются
сторонами угла, а так как AE=EB, то согласно теореме Фалеса:
DE1=E1 C;
5) Отрезок EE1-средняя линия трапеции ABCD, отсюда:
EE1=1/2•(AD+CB)=1/2•(10+20)=1/2•30=15 м;

Из точек $$A$$ и $$B$$ опустим на прямую $$a$$ перпендикуляры $$AD$$ и $$BC$$. Тогда $$AD=10$$ м, $$BC=20$$ м.

Так как $$AD \perp a$$ и $$BC \perp a$$, то $$AD \parallel BC$$. Следовательно, четырёхугольник $$ABCD$$ — трапеция.

Пусть $$E$$ — середина отрезка $$AB$$. Опустим из точки $$E$$ перпендикуляр $$EE_1$$ на прямую $$a$$. Тогда $$EE_1 \parallel AD \parallel BC$$.

Поскольку $$E$$ — середина боковой стороны трапеции $$AB$$, отрезок $$EE_1$$ является средней линией трапеции, поэтому

$$ EE_1=\frac{AD+BC}{2} $$

Подставим значения:

$$ EE_1=\frac{10+20}{2}=\frac{30}{2}=15 $$

Значит, расстояние от середины отрезка $$AB$$ до прямой $$a$$ равно $$15$$ м.

Ответ

$$15$$ м.