Упр.11.65 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Две хорды пересекаются внутри окружности под углом $$60^\circ$$. Найдите градусные меры двух дуг, заключённых между сторонами этого угла и их продолжениями, если они относятся как $$1:3$$.
Пусть $$O$$ — центр окружности, а хорды $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$M$$, причём $$\angle BMD=60^\circ$$.
Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла, значит
$$\overset{\frown}{AC}=\angle AOC,\qquad \overset{\frown}{BD}=\angle BOD.$$
По условию эти дуги относятся как $$1:3$$, следовательно,
$$\angle BOD=3\angle AOC.$$
Так как угол между пересекающимися хордами равен половине суммы дуг, заключённых между его сторонами и их продолжениями, то
$$\angle BMD=\frac{1}{2}\left(\angle AOC+\angle BOD\right).$$
Подставим данные:
$$60^\circ=\frac{1}{2}\left(\angle AOC+3\angle AOC\right)=\frac{1}{2}\cdot 4\angle AOC.$$
Отсюда
$$2\angle AOC=60^\circ,\qquad \angle AOC=30^\circ.$$
Тогда
$$\angle BOD=3\cdot 30^\circ=90^\circ.$$
Следовательно, искомые дуги равны $$30^\circ$$ и $$90^\circ$$.
Ответ: $$30^\circ$$ и $$90^\circ$$.
