Упр.15.65 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 65. Круговой сектор с утлом 30° и радиусом R вращается около одного из боковых радиусов. Найдите объём полученного тела.

Подробный ответ

Пусть $$P$$ — вершина кругового сектора, а $$AP$$ и $$BP$$ — его боковые радиусы. Тогда

$$\angle APB=30^\circ,\qquad AP=BP=R.$$

При вращении сектора вокруг радиуса $$BP$$ получается шаровой сектор радиуса $$R$$. Обозначим через $$O$$ центр основания этого тела. Тогда $$AA_1$$ — диаметр основания, поэтому $$AA_1\perp BP$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$POA$$. В нём

$$\cos \angle OPA=\frac{OP}{AP},$$

откуда

$$OP=AP\cdot \cos 30^\circ=R\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{R\sqrt{3}}{2}.$$

Высота соответствующего шарового сегмента равна

$$H=OB=BP-OP=R-\frac{R\sqrt{3}}{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{2}R.$$

Объём шарового сектора:

$$ V=\frac{2}{3}\pi R^2H =\frac{2}{3}\pi R^2\cdot \frac{2-\sqrt{3}}{2}R =\frac{1}{3}\pi R^3(2-\sqrt{3}). $$