Упр.6.65 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. По одну сторону от прямой $$a$$ даны две точки $$A$$ и $$B$$ на расстояниях $$10\ \text{м}$$ и $$20\ \text{м}$$ от неё. Найдите расстояние от середины отрезка $$AB$$ до прямой $$a$$.

Пусть из точек $$A$$ и $$B$$ на прямую $$a$$ опущены перпендикуляры $$AD$$ и $$BC$$. Тогда $$AD=10$$ м, $$BC=20$$ м, а так как обе прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то $$AD \parallel BC$$.

Следовательно, четырёхугольник $$ABCD$$ — трапеция. Обозначим через $$E$$ середину отрезка $$AB$$. Тогда расстояние от точки $$E$$ до прямой $$a$$ равно длине перпендикуляра $$EE_1$$, где $$E_1 \in a$$.

В трапеции отрезок, соединяющий середины боковых сторон, является средней линией, поэтому

$$EE_1=\frac{AD+BC}{2}=\frac{10+20}{2}=15.$$

Ответ: $$15$$ м.