Упр.15.64 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Чему равен объём шарового сектора, если радиус окружности его основания $$60\ \text{см}$$, а радиус шара $$75\ \text{см}$$?

Рассмотрим сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара $$O$$ и центр основания шарового сектора $$O_1$$. Тогда $$O_1A=O_1B=60$$ см — радиус окружности основания, а $$OA=OB=75$$ см — радиус шара.

В прямоугольном треугольнике $$OO_1A$$ по теореме Пифагора:

$$OO_1=\sqrt{OA^2-O_1A^2}=\sqrt{75^2-60^2}=\sqrt{5625-3600}=\sqrt{2025}=45\text{ см}.$$

Высота соответствующего шарового сегмента равна

$$h=OC-OO_1=75-45=30\text{ см}.$$

Объём шарового сектора вычисляется по формуле

$$V=\frac{2}{3}\pi R^2h,$$

где $$R=75$$ см — радиус шара, $$h=30$$ см — высота сегмента.

Тогда

$$V=\frac{2}{3}\pi\cdot 75^2\cdot 30=\frac{2}{3}\pi\cdot 5625\cdot 30=112500\pi\text{ см}^3=112{,}5\pi\text{ дм}^3.$$

Ответ: $$112{,}5\pi\text{ дм}^3$$.