Упр.6.64 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 64. Меньшее основание равнобокой трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне (рис. 147). Найдите углы трапеции.

Пусть $$ABCD$$ — данная равнобокая трапеция, в которой $$BC=AB=CD$$ и $$BD\perp AB$$.

Так как трапеция равнобокая, то углы при каждом основании равны:

$$\angle BAD=\angle CDA,\qquad \angle ABC=\angle BCD.$$

Из условия $$BD\perp AB$$ получаем:

$$\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC=90^\circ+\angle DBC.$$

Рассмотрим равнобедренный треугольник $$BCD$$. В нём $$BC=CD$$, значит, его углы при основании равны:

$$\angle CBD=\angle BDC.$$

Тогда

$$\angle BCD=180^\circ-2\angle DBC.$$

С другой стороны,

$$\angle BCD=\angle ABC=90^\circ+\angle DBC.$$

Приравниваем:

$$90^\circ+\angle DBC=180^\circ-2\angle DBC,$$
$$3\angle DBC=90^\circ,$$
$$\angle DBC=30^\circ.$$

Тогда

$$\angle ABC=90^\circ+30^\circ=120^\circ,$$
$$\angle BCD=120^\circ.$$

Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых $$AD$$ и $$BC$$ и секущей $$AB$$ равна $$180^\circ$$:

$$\angle BAD+\angle ABC=180^\circ,$$
$$\angle BAD=180^\circ-120^\circ=60^\circ.$$

Так как $$\angle BAD=\angle CDA$$, то

$$\angle CDA=60^\circ.$$

Ответ

$$60^\circ$$ и $$120^\circ$$.