Упр.11.64 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Вычислите радиус горизонта, видимого с вершины телебашни в Останкине, высота которой $$537\ \text{м}$$.

Обозначим Землю окружностью с центром в точке $$O$$ и радиусом $$R=6370$$ км, а вершину башни — точкой $$C$$. Пусть $$A$$ и $$B$$ — точки пересечения прямой $$OC$$ с окружностью, причём $$A$$ — ближайшая к вершине башни точка. Проведём касательную $$CD$$ к окружности.

Тогда $$AB$$ — диаметр окружности, значит

$$AB=2R=2\cdot 6370=12740\text{ км}.$$

Высота башни равна $$537$$ м $$=0{,}537$$ км, поэтому

$$AC=0{,}537\text{ км},$$

а значит

$$CB=AB+AC=12740+0{,}537=12740{,}537\text{ км}.$$

По теореме о касательной и секущей (из задачи 11.62)

$$CD^2=AC\cdot CB,$$

откуда

$$CD=\sqrt{AC\cdot CB}=\sqrt{0{,}537\cdot 12740{,}537}\approx \sqrt{6841{,}7}\approx 82{,}7\text{ км}.$$

Ответ: $$82{,}7$$ км.