Упр.6.64 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Меньшее основание равнобокой трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне (рис. 147). Найдите углы трапеции.

Пусть $$ABCD$$ — данная равнобокая трапеция, в которой $$BC=AB=CD$$ и $$BD\perp AB$$.

Так как трапеция равнобокая, то $$\angle BAD=\angle CDA$$ и $$\angle ABC=\angle BCD$$.

Из перпендикулярности диагонали и боковой стороны получаем:

$$\angle BCD=\angle ABC=90^\circ+\angle DBC.$$

Рассмотрим равнобедренный треугольник $$BCD$$. В нём $$BC=CD$$, значит, $$\angle CBD=\angle BDC$$, и

$$\angle BCD=180^\circ-\angle CBD-\angle CDB=180^\circ-2\angle CBD.$$

Но $$\angle CBD=\angle DBC$$, поэтому

$$90^\circ+\angle DBC=180^\circ-2\angle DBC.$$

Отсюда

$$3\angle DBC=90^\circ,\qquad \angle DBC=30^\circ.$$

Тогда

$$\angle ABC=\angle BCD=90^\circ+30^\circ=120^\circ.$$

Смежные углы при параллельных прямых $$AD$$ и $$BC$$ и секущей $$AB$$ дополняют друг друга до $$180^\circ$$, значит

$$\angle BAD=180^\circ-\angle ABC=180^\circ-120^\circ=60^\circ.$$

Так как трапеция равнобокая, то $$\angle CDA=\angle BAD=60^\circ$$.

Ответ: $$60^\circ$$ и $$120^\circ$$.