Упр.15.63 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 3 см и 9 см. Каковы объёмы полученных частей?

Пусть $$O$$ — центр шара, $$R$$ — его радиус, а $$O_1$$ — центр кругового сечения.

Проведём диаметр $$AB$$ шара через точку $$O_1$$. Тогда плоскость сечения перпендикулярна этому диаметру, а отрезки $$O_1A$$ и $$O_1B$$ равны $$3$$ см и $$9$$ см.

Найдём диаметр и радиус шара:

$$AB=O_1A+O_1B=3+9=12\text{ см}$$

$$R=\frac{AB}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ см}$$

Объём шарового сегмента высоты $$h$$ вычисляется по формуле:

$$V=\pi h^2\left(R-\frac{h}{3}\right)$$

Для сегмента высотой $$3$$ см:

$$V_1=\pi\cdot 3^2\left(6-\frac{3}{3}\right)=9\pi\cdot 5=45\pi\text{ см}^3$$

Для сегмента высотой $$9$$ см:

$$V_2=\pi\cdot 9^2\left(6-\frac{9}{3}\right)=81\pi\cdot 3=243\pi\text{ см}^3$$

Ответ: $$45\pi\text{ см}^3$$ и $$243\pi\text{ см}^3$$.