Упр.8.62 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Доказать: если sina=sinбета, то либо a=бета, либо a=180°-бета;
Доказательство:
I) Рассмотрим сначала случай, когда оба угла a и бета острые:
1) Допустим, что углы a и бета не равны, тогда один из них больше другого;
2) По теореме 7.5 при возрастании острого угла sina возоастает, значит:
либо sina < sinбета (если a < бета), либо sinбета < sin (если бета < a);
3) В любом случае возникает противоречие с условием задачи, значит
наше допущение неверно и углы a и бета равны;
II) Рассмотрим случай когда один из углов острый, а другой тупой
(например a < 90° и бета > 90°):
1) По свойству синуса любого угла от 0° до 180°:
sinбета=sin(180°-бета)=sina;
2) Так как угол бета тупой, то угол (180°-бета)-острый, а из равенства
sin(180°-бета)=sina, следует что a=180°-бета;
III) Рассмотрим случай когда оба угла тупые:
1) По свойству синуса любого угла от 0° до 180°:
sin(180°-a)=sina и sin(180°-бета)=sinбета;
2) По условию sin=sinбета, значит sin(180°-a)=sin(180°-бета);
3) Углы a и бета-тупые, значит углы (180°-a) и (180°-бета)-острые,
а так как их синусы равны, то и эти углы также равны, тогда:
180°-a=180°-бета, отсюда a=бета;
Таким образом, во всех случаях выполняется либо равенство a=бета,
либо равенство a=180°-бета, что и требовалось доказать.
Рассмотрим углы $$\alpha$$ и $$\beta$$ на промежутке от $$0^\circ$$ до $$180^\circ$$.
1. Оба угла острые. Тогда функция $$\sin x$$ возрастает при $$0^\circ<x<90^\circ$$. Поэтому из равенства $$\sin \alpha=\sin \beta$$ следует, что углы не могут быть различными. Значит, $$\alpha=\beta$$.
2. Один угол острый, другой тупой. Пусть, например, $$\alpha<90^\circ$$, а $$\beta>90^\circ$$. Тогда
$$\sin \beta=\sin(180^\circ-\beta).$$
Угол $$180^\circ-\beta$$ острый, и из условия $$\sin \alpha=\sin \beta$$ получаем
$$\sin \alpha=\sin(180^\circ-\beta).$$
Для острых углов равенство синусов означает равенство самих углов, значит
$$\alpha=180^\circ-\beta.$$
3. Оба угла тупые. Тогда
$$\sin \alpha=\sin(180^\circ-\alpha), \qquad \sin \beta=\sin(180^\circ-\beta).$$
Из условия $$\sin \alpha=\sin \beta$$ следует
$$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin(180^\circ-\beta).$$
Углы $$180^\circ-\alpha$$ и $$180^\circ-\beta$$ острые, поэтому они равны:
$$180^\circ-\alpha=180^\circ-\beta,$$
откуда
$$\alpha=\beta.$$
Итак, если $$\sin \alpha=\sin \beta$$, то либо $$\alpha=\beta$$, либо $$\alpha=180^\circ-\beta$$.
Ответ
$$\alpha=\beta$$ или $$\alpha=180^\circ-\beta$$.
