Упр.11.62 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что произведение отрезков секущей окружности равно квадрату отрезка касательной, проведённой из той же точки: $$AC\cdot BC=CD^2$$ (рис. 264, в).

Пусть $$O$$ — центр окружности. Тогда $$OA=OB=OD$$ как радиусы.

Обозначим $$\angle ABD=\beta$$. Тогда соответствующий центральный угол, опирающийся на ту же дугу $$AD$$, равен

$$\angle AOD=2\beta.$$

Треугольник $$AOD$$ равнобедренный, значит его углы при основании равны:

$$\angle ODA=\angle OAD=\frac{180^\circ-\angle AOD}{2}=\frac{180^\circ-2\beta}{2}=90^\circ-\beta.$$

Так как $$CD$$ — касательная, то радиус $$OD$$ перпендикулярен ей, следовательно

$$\angle ODC=90^\circ.$$

Тогда

$$\angle CDA=\angle ODC-\angle ODA=90^\circ-(90^\circ-\beta)=\beta.$$

Рассмотрим треугольники $$CBD$$ и $$CDA$$. У них

$$\angle CBD=\angle CDA=\beta,$$

а угол при точке $$C$$ общий, значит, треугольники подобны.

Из подобия получаем пропорцию:

$$\frac{BC}{CD}=\frac{CD}{AC}.$$

Отсюда

$$CD^2=AC\cdot BC.$$

Что и требовалось доказать.