Упр.8.62 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- 8-62. Докажите, что если $$\sin\alpha=\sin\beta$$, то либо $$\alpha=\beta$$, либо $$\alpha=180^\circ-\beta$$.
Рассмотрим углы $$\alpha$$ и $$\beta$$.
Если оба угла острые, то при возрастании острого угла синус возрастает. Поэтому из равенства $$\sin \alpha=\sin \beta$$ следует, что острые углы не могут быть различными, значит $$\alpha=\beta$$.
Если один из углов острый, а другой тупой, например $$\alpha<90^\circ$$, $$\beta>90^\circ$$, то
$$\sin \beta=\sin(180^\circ-\beta).$$
Угол $$180^\circ-\beta$$ острый. Тогда из условия $$\sin \alpha=\sin \beta$$ получаем
$$\sin \alpha=\sin(180^\circ-\beta).$$
Для острых углов равенство синусов возможно только при равенстве самих углов, значит
$$\alpha=180^\circ-\beta.$$
Если оба угла тупые, то
$$\sin \alpha=\sin(180^\circ-\alpha), \qquad \sin \beta=\sin(180^\circ-\beta).$$
Из условия $$\sin \alpha=\sin \beta$$ следует, что
$$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin(180^\circ-\beta).$$
Углы $$180^\circ-\alpha$$ и $$180^\circ-\beta$$ острые, а для острых углов равенство синусов означает равенство самих углов. Поэтому
$$180^\circ-\alpha=180^\circ-\beta,$$
откуда
$$\alpha=\beta.$$
Итак, если $$\sin \alpha=\sin \beta$$, то либо $$\alpha=\beta$$, либо $$\alpha=180^\circ-\beta$$.
