Упр.14.62 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 62 Найдите площадь той части круга, которая расположена вне вписанного в него: 1) квадрата; 2) правильного треугольника; 3) правильного шестиугольника. Радиус круга R (рис. 312). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 pogorelov7-9 14-62 76

Подробный ответ

Пусть $$AB$$ — сторона вписанного правильного $$n$$-угольника, а $$O$$ — центр круга. Тогда $$OA=OB=R$$, а центральный угол $$\angle AOB$$ равен

$$\angle AOB=\frac{360^\circ}{n}.$$

Площадь треугольника $$AOB$$:

$$S_{AOB}=\frac12\cdot OA\cdot OB\cdot \sin\angle AOB=\frac12R^2\sin\frac{360^\circ}{n}.$$

Площадь соответствующего кругового сегмента равна разности площади сектора и площади треугольника:

$$S_1=\frac{\pi R^2}{360^\circ}\cdot \frac{360^\circ}{n}-\frac12R^2\sin\frac{360^\circ}{n} =R^2\left(\frac{\pi}{n}-\frac12\sin\frac{360^\circ}{n}\right).$$

Так как правильный $$n$$-угольник состоит из $$n$$ равных таких треугольников, то площадь части круга, лежащей вне этого многоугольника, равна

$$S_n=nS_1=R^2\left(\pi-\frac{n}{2}\sin\frac{360^\circ}{n}\right).$$

Теперь подставим значения $$n$$.

1) Для квадрата $$n=4$$:

$$S=R^2\left(\pi-\frac{4}{2}\sin 90^\circ\right)=R^2(\pi-2).$$

2) Для правильного треугольника $$n=3$$:

$$S=R^2\left(\pi-\frac{3}{2}\sin 120^\circ\right) =R^2\left(\pi-\frac{3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}\right) =R^2\left(\pi-\frac{3\sqrt3}{4}\right).$$

3) Для правильного шестиугольника $$n=6$$:

$$S=R^2\left(\pi-\frac{6}{2}\sin 60^\circ\right) =R^2\left(\pi-3\cdot\frac{\sqrt3}{2}\right) =R^2\left(\pi-\frac{3\sqrt3}{2}\right).$$