Упр.7.61 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1) по двум катетам:
а) а = 3, b = 4;
в) а = 20, b = 21;
б) а = 9, b = 40;
г) а = 11, b = 60;
2) по гипотенузе и катету:
а) с= 13, а = 5;
в) с = 17, а = 8;
б) с = 25, а = 7;
г) с = 85, с = 84;
3) по гипотенузе и острому углу:
а) с = 2, альфа = 20°;
в) с = 8, альфа = 70°36′;
б) с = 4, альфа = 50°20′;
г) с = 16, альфа = 76°21′;
4) по катету и противолежащему углу:
а) a = 3, альфа = 30°27′;
в) а = 7, альфа = 60°35′;
б) а = 5, альфа = 40°48′;
г) а = 9, альфа = 68°.

Обозначим в прямоугольном треугольнике катеты через $$a$$ и $$b$$, гипотенузу — $$c$$, острые углы — $$\alpha$$ и $$\beta$$. Тогда $$\alpha+\beta=90^\circ$$.

1) По двум катетам.

а) $$a=3,\ b=4$$

$$ c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5 $$
$$ \tan \beta=\frac{a}{b}=\frac{3}{4}=0{,}75,\quad \beta=36^\circ52′ $$
$$ \alpha=90^\circ-36^\circ52’=53^\circ08′ $$

б) $$a=9,\ b=40$$

$$ c=\sqrt{9^2+40^2}=\sqrt{81+1600}=\sqrt{1681}=41 $$
$$ \tan \beta=\frac{9}{40}=0{,}225,\quad \beta=12^\circ41′ $$
$$ \alpha=90^\circ-12^\circ41’=77^\circ19′ $$

в) $$a=20,\ b=21$$

$$ c=\sqrt{20^2+21^2}=\sqrt{400+441}=\sqrt{841}=29 $$
$$ \tan \beta=\frac{20}{21}\approx 0{,}9523,\quad \beta=43^\circ36′ $$
$$ \alpha=90^\circ-43^\circ36’=46^\circ24′ $$

г) $$a=11,\ b=60$$

$$ c=\sqrt{11^2+60^2}=\sqrt{121+3600}=\sqrt{3721}=61 $$
$$ \tan \beta=\frac{11}{60}\approx 0{,}1833,\quad \beta=10^\circ23′ $$
$$ \alpha=90^\circ-10^\circ23’=79^\circ37′ $$

2) По гипотенузе и катету.

а) $$c=13,\ a=5$$

$$ b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12 $$
$$ \sin \beta=\frac{a}{c}=\frac{5}{13}\approx 0{,}3846,\quad \beta=22^\circ37′ $$
$$ \alpha=90^\circ-22^\circ37’=67^\circ23′ $$

б) $$c=25,\ a=7$$

$$ b=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24 $$
$$ \sin \beta=\frac{7}{25}=0{,}28,\quad \beta=16^\circ16′ $$
$$ \alpha=90^\circ-16^\circ16’=73^\circ44′ $$

в) $$c=17,\ a=8$$

$$ b=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15 $$
$$ \sin \beta=\frac{8}{17}\approx 0{,}4705,\quad \beta=28^\circ04′ $$
$$ \alpha=90^\circ-28^\circ04’=61^\circ56′ $$

г) $$c=85,\ a=84$$

$$ b=\sqrt{85^2-84^2}=\sqrt{7225-7056}=\sqrt{169}=13 $$
$$ \sin \beta=\frac{84}{85}\approx 0{,}9882,\quad \beta=81^\circ12′ $$
$$ \alpha=90^\circ-81^\circ12’=8^\circ48′ $$

3) По гипотенузе и острому углу.

а) $$c=2,\ \alpha=20^\circ$$

$$ \beta=90^\circ-20^\circ=70^\circ $$
$$ b=c\sin\alpha=2\sin20^\circ\approx 2\cdot 0{,}3420\approx 0{,}68 $$
$$ a=c\cos\alpha=2\cos20^\circ\approx 2\cdot 0{,}9396\approx 1{,}88 $$

б) $$c=4,\ \alpha=50^\circ20’$$

$$ \beta=90^\circ-50^\circ20’=39^\circ40′ $$
$$ b=4\sin50^\circ20’\approx 4\cdot 0{,}7697\approx 3{,}08 $$
$$ a=4\cos50^\circ20’\approx 4\cdot 0{,}6383\approx 2{,}55 $$

в) $$c=8,\ \alpha=70^\circ36’$$

$$ \beta=90^\circ-70^\circ36’=19^\circ24′ $$
$$ b=8\sin70^\circ36’\approx 8\cdot 0{,}3321\approx 2{,}66 $$
$$ a=8\cos70^\circ36’\approx 8\cdot 0{,}9432\approx 7{,}55 $$

г) $$c=16,\ \alpha=76^\circ21’$$

$$ \beta=90^\circ-76^\circ21’=13^\circ39′ $$
$$ b=16\sin76^\circ21’\approx 16\cdot 0{,}9717\approx 15{,}55 $$
$$ a=16\cos76^\circ21’\approx 16\cdot 0{,}2359\approx 3{,}78 $$

4) По катету и противолежащему углу.

а) $$a=3,\ \alpha=30^\circ27’$$

$$ \beta=90^\circ-30^\circ27’=59^\circ33′ $$
$$ b=a\ctg\alpha=3\ctg30^\circ27’\approx 3\cdot 1{,}7010\approx 5{,}10 $$
$$ c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+5{,}10^2}\approx \sqrt{9+26}\approx \sqrt{35}\approx 5{,}92 $$

б) $$a=5,\ \alpha=40^\circ48’$$

$$ \beta=90^\circ-40^\circ48’=49^\circ12′ $$
$$ b=5\ctg40^\circ48’\approx 5\cdot 1{,}1585\approx 5{,}79 $$
$$ c=\sqrt{5^2+5{,}79^2}\approx \sqrt{25+33{,}5}\approx \sqrt{58{,}5}\approx 7{,}65 $$

в) $$a=7,\ \alpha=60^\circ35’$$

$$ \beta=90^\circ-60^\circ35’=29^\circ25′ $$
$$ b=7\ctg60^\circ35’\approx 7\cdot 0{,}5638\approx 3{,}95 $$
$$ c=\sqrt{7^2+3{,}95^2}\approx \sqrt{49+15{,}6}\approx \sqrt{64{,}6}\approx 8{,}04 $$

г) $$a=9,\ \alpha=68^\circ$$

$$ \beta=90^\circ-68^\circ=22^\circ $$
$$ b=9\ctg68^\circ\approx 9\cdot 0{,}4040\approx 3{,}64 $$
$$ c=\sqrt{9^2+3{,}64^2}\approx \sqrt{81+13{,}2}\approx \sqrt{94{,}2}\approx 9{,}71 $$

Ответ

1) а) $$c=5,\ \beta=36^\circ52′,\ \alpha=53^\circ08’$$; б) $$c=41,\ \beta=12^\circ41′,\ \alpha=77^\circ19’$$; в) $$c=29,\ \beta=43^\circ36′,\ \alpha=46^\circ24’$$; г) $$c=61,\ \beta=10^\circ23′,\ \alpha=79^\circ37’$$.
2) а) $$b=12,\ \beta=22^\circ37′,\ \alpha=67^\circ23’$$; б) $$b=24,\ \beta=16^\circ16′,\ \alpha=73^\circ44’$$; в) $$b=15,\ \beta=28^\circ04′,\ \alpha=61^\circ56’$$; г) $$b=13,\ \beta=81^\circ12′,\ \alpha=8^\circ48’$$.
3) а) $$a\approx 1{,}88,\ b\approx 0{,}68,\ \beta=70^\circ$$; б) $$a\approx 2{,}55,\ b\approx 3{,}08,\ \beta=39^\circ40’$$; в) $$a\approx 7{,}55,\ b\approx 2{,}66,\ \beta=19^\circ24’$$; г) $$a\approx 3{,}78,\ b\approx 15{,}55,\ \beta=13^\circ39’$$.
4) а) $$b\approx 5{,}10,\ c\approx 5{,}92,\ \beta=59^\circ33’$$; б) $$b\approx 5{,}79,\ c\approx 7{,}65,\ \beta=49^\circ12’$$; в) $$b\approx 3{,}95,\ c\approx 8{,}04,\ \beta=29^\circ25’$$; г) $$b\approx 3{,}64,\ c\approx 9{,}71,\ \beta=22^\circ$$.