Упр.14.61 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Найдите площадь кругового сегмента с основанием $$a\sqrt{3}$$ и высотой $$\frac{a}{2}$$.
Пусть $$AB=a\sqrt{3}$$ — основание сегмента, $$O$$ — центр окружности, $$R$$ — её радиус. Проведём радиус $$OC$$ через середину $$H$$ хорды $$AB$$.
Так как $$OA=OB=OC=R$$, то треугольник $$AOB$$ равнобедренный, а значит, $$OH$$ — и медиана, и высота. Тогда
$$AH=\frac{1}{2}AB=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$
Высота сегмента равна $$CH=\frac{a}{2}$$, поэтому
$$OH=OC-CH=R-\frac{a}{2}.$$
В прямоугольном треугольнике $$AOH$$ по теореме Пифагора:
$$AO^2=OH^2+AH^2,$$
$$R^2=\left(R-\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2.$$
Раскроем скобки:
$$R^2=R^2-Ra+\frac{a^2}{4}+\frac{3a^2}{4},$$
$$Ra=a^2,$$
откуда $$R=a.$$
Теперь найдём угол $$\angle AOB$$ по теореме косинусов:
$$AB^2=AO^2+BO^2-2\cdot AO\cdot BO\cos\angle AOB,$$
$$3a^2=a^2+a^2-2a^2\cos\angle AOB,$$
$$\cos\angle AOB=-\frac{1}{2},$$
значит, $$\angle AOB=120^\circ.$$
Площадь сектора $$AOB$$:
$$S_{\text{сектора}}=\frac{120^\circ}{360^\circ}\pi R^2=\frac{1}{3}\pi a^2.$$
Площадь треугольника $$AOB$$:
$$S_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot AO\cdot BO\cdot \sin 120^\circ=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$
Тогда площадь кругового сегмента равна разности площади сектора и площади треугольника:
$$S=\frac{1}{3}\pi a^2-\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=a^2\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right).$$
Ответ: $$a^2\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right).$$
