Упр.11.61 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Из точки \(C\) окружности проведён перпендикуляр \(CD\) к диаметру \(AB\). Докажите, что $$CD^2=AD\cdot BD$$.

Так как $$AB$$ — диаметр окружности, то вписанный угол, опирающийся на него, прямой:

$$\angle ACB=90^\circ.$$

Поскольку $$CD\perp AB$$, то $$\angle ADC=90^\circ$$ и $$\angle CDB=90^\circ$$.

Рассмотрим треугольники $$ACD$$ и $$CBD$$. У них:

• $$\angle ADC=\angle CDB=90^\circ,$$
• $$\angle ACD=\angle CBD,$$ так как оба эти угла дополняют до $$90^\circ$$ угол $$\angle ACB$$.

Следовательно, $$\triangle ACD \sim \triangle CBD$$.

Из подобия получаем:

$$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}.$$

Перемножая крайние и средние члены, имеем:

$$CD^2=AD\cdot BD.$$

Что и требовалось доказать.