Упр.15.61 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 61. Радиусы оснований усечённого конуса R и r, образующая наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите объём. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 pogorelov7-9 15-61 76

Достроим усечённый конус до полного конуса и обозначим его вершину через $$P$$. Пусть $$O$$ и $$O_1$$ — центры оснований радиусов $$R$$ и $$r$$ соответственно.

Тогда $$OP$$ — высота полного конуса, а $$O_1P$$ — высота отсечённой части.

Проведём образующую $$AP$$ полного конуса и отметим точку $$A_1$$ на окружности меньшего основания. Тогда

$$AO=R,\qquad A_1O_1=r,\qquad \angle PAO=45^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOP$$. Так как $$OP\perp AO$$, то $$\angle AOP=90^\circ$$, а значит

$$\angle APO=90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$

Следовательно, треугольник $$AOP$$ равнобедренный, и потому

$$OP=AO=R.$$

Треугольники $$AOP$$ и $$A_1O_1P$$ подобны по общему острому углу при вершине $$P$$ и прямым углам при $$O$$ и $$O_1$$. Поэтому

$$\frac{O_1P_1}{OP}=\frac{A_1O_1}{AO}=\frac{r}{R},$$

откуда

$$O_1P_1=r.$$

Объём усечённого конуса равен разности объёмов полного конуса и отсечённой части:

$$ V=\frac{1}{3}\pi R^2\cdot OP-\frac{1}{3}\pi r^2\cdot O_1P_1 $$

Подставим найденные значения $$OP=R$$ и $$O_1P_1=r$$:

$$ V=\frac{1}{3}\pi R^2\cdot R-\frac{1}{3}\pi r^2\cdot r =\frac{\pi}{3}\left(R^3-r^3\right). $$

Ответ

$$\frac{\pi}{3}\left(R^3-r^3\right)$$