Упр.8.61 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. 8-61. Докажите, что если $$\cos\alpha=\cos\beta$$, то $$\alpha=\beta$$.

Рассмотрим три возможных случая.

1. Если оба угла $$\alpha$$ и $$\beta$$ острые, то при возрастании острого угла косинус убывает. Поэтому из равенства $$\cos \alpha=\cos \beta$$ следует, что углы не могут быть различны. Значит, $$\alpha=\beta$$.

2. Случай, когда один угол острый, а другой тупой, невозможен. Действительно, для углов от $$0^\circ$$ до $$180^\circ$$ выполняется

   $$\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha.$$

   Следовательно, у острого и тупого углов косинусы имеют разные знаки, а значит, равенство $$\cos \alpha=\cos \beta$$ здесь невозможно.

3. Если оба угла тупые, то углы $$180^\circ-\alpha$$ и $$180^\circ-\beta$$ острые. Тогда

   $$\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha,\qquad \cos(180^\circ-\beta)=-\cos\beta.$$

   Из условия $$\cos\alpha=\cos\beta$$ получаем

   $$\cos(180^\circ-\alpha)=\cos(180^\circ-\beta).$$

   Но для острых углов равенство косинусов возможно только при равенстве самих углов, значит

   $$180^\circ-\alpha=180^\circ-\beta,$$

   откуда $$\alpha=\beta$$.

Во всех возможных случаях из $$\cos\alpha=\cos\beta$$ следует $$\alpha=\beta$$.