Упр.14.61 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 61. Найдите площадь кругового сегмента с основанием a корень 3 и высотой a/2.

Пусть $$AB=a\sqrt{3}$$ — основание кругового сегмента, $$O$$ — центр окружности, $$R$$ — её радиус. Проведём радиус $$OC$$ через середину $$H$$ хорды $$AB$$.

Тогда в равнобедренном треугольнике $$AOB$$ отрезок $$OH$$ является и медианой, и высотой, поэтому

$$AH=\frac{1}{2}AB=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Высота сегмента равна $$CH=\frac{a}{2}$$, значит

$$OH=OC-CH=R-\frac{a}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOH$$ по теореме Пифагора:

$$AO^2=OH^2+AH^2,$$

$$R^2=\left(R-\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2.$$

Раскроем скобки:

$$R^2=R^2-Ra+\frac{a^2}{4}+\frac{3a^2}{4},$$

откуда

$$Ra=a^2,$$

следовательно,

$$R=a.$$

Теперь найдём угол $$\angle AOB$$ по теореме косинусов:

$$AB^2=AO^2+BO^2-2\cdot AO\cdot BO\cdot \cos \angle AOB,$$

$$3a^2=a^2+a^2-2a^2\cos \angle AOB,$$

$$\cos \angle AOB=-\frac{1}{2}.$$

Значит,

$$\angle AOB=120^\circ.$$

Площадь сектора $$AOB$$:

$$S_{\text{сектора}}=\frac{120^\circ}{360^\circ}\pi R^2=\frac{1}{3}\pi a^2.$$

Площадь треугольника $$AOB$$:

$$S_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot AO\cdot BO\cdot \sin 120^\circ=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$

Тогда площадь кругового сегмента равна разности площади сектора и площади треугольника:

$$S=\frac{\pi a^2}{3}-\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=a^2\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right).$$

Ответ

$$a^2\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right).$$