Упр.7.61 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Найдите неизвестные стороны и острые углы прямоугольного треугольника по следующим данным:
1) по двум катетам: а) $$a=3,\ b=4$$; б) $$a=9,\ b=40$$; в) $$a=20,\ b=21$$; г) $$a=11,\ b=60$$;
2) по гипотенузе и катету: а) $$c=13,\ a=5$$; б) $$c=25,\ a=7$$; в) $$c=17,\ a=8$$; г) $$c=85,\ a=84$$;
3) по гипотенузе и острому углу: а) $$c=2,\ \alpha=20^\circ$$; б) $$c=4,\ \alpha=50^\circ20’$$; в) $$c=8,\ \alpha=70^\circ36’$$; г) $$c=16,\ \alpha=76^\circ21’$$;
4) по катету и противолежащему углу: а) $$a=3,\ \alpha=30^\circ27’$$; б) $$a=5,\ \alpha=40^\circ48’$$; в) $$a=7,\ \alpha=60^\circ35’$$; г) $$a=9,\ \alpha=68^\circ$$.
Обозначим острые углы прямоугольного треугольника через $$\alpha$$ и $$\beta$$, тогда $$\alpha+\beta=90^\circ$$.
1) По двум катетам
$$a=3,\ b=4$$
$$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$$
$$\tan\beta=\frac{a}{b}=\frac{3}{4}=0{,}75,\quad \beta\approx 36^\circ52’$$
$$\alpha=90^\circ-36^\circ52’=53^\circ08’$$$$a=9,\ b=40$$
$$c=\sqrt{9^2+40^2}=\sqrt{1681}=41$$
$$\tan\beta=\frac{9}{40}=0{,}225,\quad \beta\approx 12^\circ41’$$
$$\alpha=90^\circ-12^\circ41’=77^\circ19’$$$$a=20,\ b=21$$
$$c=\sqrt{20^2+21^2}=\sqrt{841}=29$$
$$\tan\beta=\frac{20}{21}\approx 0{,}9523,\quad \beta\approx 43^\circ36’$$
$$\alpha=90^\circ-43^\circ36’=46^\circ24’$$$$a=11,\ b=60$$
$$c=\sqrt{11^2+60^2}=\sqrt{3721}=61$$
$$\tan\beta=\frac{11}{60}\approx 0{,}1833,\quad \beta\approx 10^\circ23’$$
$$\alpha=90^\circ-10^\circ23’=79^\circ37’$$
2) По гипотенузе и катету
$$c=13,\ a=5$$
$$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$$
$$\sin\beta=\frac{a}{c}=\frac{5}{13}\approx 0{,}3846,\quad \beta\approx 22^\circ37’$$
$$\alpha=90^\circ-22^\circ37’=67^\circ23’$$$$c=25,\ a=7$$
$$b=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{576}=24$$
$$\sin\beta=\frac{7}{25}=0{,}28,\quad \beta\approx 16^\circ16’$$
$$\alpha=90^\circ-16^\circ16’=73^\circ44’$$$$c=17,\ a=8$$
$$b=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{225}=15$$
$$\sin\beta=\frac{8}{17}\approx 0{,}4705,\quad \beta\approx 28^\circ04’$$
$$\alpha=90^\circ-28^\circ04’=61^\circ56’$$$$c=85,\ a=84$$
$$b=\sqrt{85^2-84^2}=\sqrt{169}=13$$
$$\sin\beta=\frac{84}{85}\approx 0{,}9882,\quad \beta\approx 81^\circ12’$$
$$\alpha=90^\circ-81^\circ12’=8^\circ48’$$
3) По гипотенузе и острому углу
$$c=2,\ \alpha=20^\circ$$
$$\beta=90^\circ-20^\circ=70^\circ$$
$$a=c\cos\alpha=2\cos20^\circ\approx 1{,}88$$
$$b=c\sin\alpha=2\sin20^\circ\approx 0{,}68$$$$c=4,\ \alpha=50^\circ20’$$
$$\beta=90^\circ-50^\circ20’=39^\circ40’$$
$$a=4\cos50^\circ20’\approx 2{,}55$$
$$b=4\sin50^\circ20’\approx 3{,}08$$$$c=8,\ \alpha=70^\circ36’$$
$$\beta=90^\circ-70^\circ36’=19^\circ24’$$
$$a=8\cos70^\circ36’\approx 2{,}66$$
$$b=8\sin70^\circ36’\approx 7{,}55$$$$c=16,\ \alpha=76^\circ21’$$
$$\beta=90^\circ-76^\circ21’=13^\circ39’$$
$$a=16\cos76^\circ21’\approx 3{,}78$$
$$b=16\sin76^\circ21’\approx 15{,}55$$
4) По катету и противолежащему углу
$$a=3,\ \alpha=30^\circ27’$$
$$\beta=90^\circ-30^\circ27’=59^\circ33’$$
$$b=a\ctg\alpha=3\ctg30^\circ27’\approx 5{,}10$$
$$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+5{,}10^2}\approx 5{,}92$$$$a=5,\ \alpha=40^\circ48’$$
$$\beta=90^\circ-40^\circ48’=49^\circ12’$$
$$b=5\ctg40^\circ48’\approx 5{,}79$$
$$c=\sqrt{5^2+5{,}79^2}\approx 7{,}65$$$$a=7,\ \alpha=60^\circ35’$$
$$\beta=90^\circ-60^\circ35’=29^\circ25’$$
$$b=7\ctg60^\circ35’\approx 3{,}95$$
$$c=\sqrt{7^2+3{,}95^2}\approx 8{,}04$$$$a=9,\ \alpha=68^\circ$$
$$\beta=90^\circ-68^\circ=22^\circ$$
$$b=9\ctg68^\circ\approx 3{,}64$$
$$c=\sqrt{9^2+3{,}64^2}\approx 9{,}71$$
