Упр.15.60 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Равносторонний треугольник вращается вокруг своей стороны $$a$$. Найдите объём полученного тела вращения.

Пусть $$ABC$$ — данный равносторонний треугольник, тогда

$$AB=BC=CA=a.$$

Опустим высоту $$CO$$. В равностороннем треугольнике она является и медианой, поэтому

$$AO=BO=\frac{a}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOC$$ по теореме Пифагора:

$$OC^2=AC^2-AO^2=a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2 =a^2-\frac{a^2}{4} =\frac{3a^2}{4}.$$

При вращении треугольника $$ABC$$ вокруг стороны $$AB$$ получается тело, состоящее из двух равных конусов с общим основанием радиуса $$OC$$ и высотами $$AO$$ и $$BO$$.

Тогда объём тела равен удвоенному объёму одного конуса:

$$V=2\cdot \frac{1}{3}\pi OC^2\cdot AO =2\cdot \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{3a^2}{4}\cdot \frac{a}{2} =\frac{\pi a^3}{4}.$$

Ответ: $$\frac{\pi a^3}{4}$$.