Упр.6.60 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что у равнобокой трапеции углы при основании равны.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данная равнобокая трапеция с основаниями $$AB$$ и $$CD$$, причём $$AD=BC$$.

Проведём через вершину $$B$$ прямую $$BE$$, параллельную стороне $$AD$$, и обозначим через $$E$$ точку её пересечения с лучом $$DC$$.

Тогда четырёхугольник $$ABED$$ — параллелограмм, так как $$AB \parallel DE$$ и $$AD \parallel BE$$. Следовательно,

$$BE=AD.$$

Но по условию $$AD=BC$$, значит

$$BE=BC.$$

Следовательно, треугольник $$BCE$$ равнобедренный, поэтому его углы при основании равны:

$$\angle BCE=\angle BEC.$$

Так как $$AD \parallel BE$$, то углы $$\angle ADE$$ и $$\angle BEC$$ равны как соответственные при параллельных прямых $$AD$$ и $$BE$$ и секущей $$DE$$. Значит,

$$\angle BCE=\angle ADE.$$

Но $$\angle BCE$$ — это угол при основании трапеции у вершины $$C$$, а $$\angle ADE$$ — угол при основании у вершины $$D$$. Следовательно, углы при основании равнобокой трапеции равны.