Упр.6.6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Расстояния от точки пересечения диагоналей параллелограмма до двух его вершин равны $$3\ \text{см}$$ и $$4\ \text{см}$$. Чему равны расстояния от неё до двух других вершин? Объясните ответ.
2. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок, заключённый между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам.

1) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Значит, если расстояния от этой точки до двух вершин равны $$3\text{ см}$$ и $$4\text{ см},$$ то до двух других вершин они тоже равны соответственно $$3\text{ см}$$ и $$4\text{ см}.$$

Ответ: $$3\text{ см}$$ и $$4\text{ см}.$$

Ход решения

2) Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм, $$O$$ — точка пересечения его диагоналей, а $$E$$ и $$F$$ — точки пересечения прямой, проходящей через $$O,$$ со сторонами $$AB$$ и $$CD$$.

Рассмотрим треугольники $$EOA$$ и $$COF.$$

$$\angle EOA=\angle FOC$$ как вертикальные.

Так как $$AB \parallel CD,$$ то $$\angle EAO=\angle FCO$$ как накрест лежащие углы при секущей $$AC.$$

Кроме того, диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, значит $$AO=OC.$$

Следовательно, треугольники $$EOA$$ и $$COF$$ равны по второму признаку равенства треугольников. Отсюда

$$EO=OF.$$

Значит, точка $$O$$ делит отрезок, заключённый между параллельными сторонами, пополам.