Вопрос 6 Параграф 7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: если из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и
наклонные, то любая наклонная больше перпендикуляра, равные
наклонные имеют равные проекции, а из двух наклонных больше та, у
которой проекция больше;
Доказательство:
1) Пусть a-данная прямая и A-точка, не лежащая на ней;
2) Проведем из точки A на прямую a перпендикуляр AB и две равные
наклонные AC и AD;
3) треугольник ABC и треугольник ABD-прямоугольные, тогда согласно теореме Пифагора:
AC^2=AB^2+BC^2 и AD^2=AB^2+BD^2;
4) Все эти отрезки имеют длину, большую нуля, следовательно:
AC > AB и AD > AB, а также BC=BD (так как AC=AD);
5) На прямой a отметим точку E так, чтобы BE > BD;
6) Треугольник ABE-прямоугольный, тогда по теореме Пифагора:
AE^2=AB^2+BE^2, отсюда следует, что AE > AD, ч.и т.д.

Подробный ответ

Пусть $$a$$ — данная прямая, а $$A$$ — точка, не лежащая на ней. Опустим из точки $$A$$ перпендикуляр $$AB$$ на прямую $$a$$ и проведём наклонные $$AC$$ и $$AD$$.

Треугольники $$ABC$$ и $$ABD$$ прямоугольные, поэтому по теореме Пифагора:

$$AC^2=AB^2+BC^2,$$
$$AD^2=AB^2+BD^2.$$

Так как $$BC^2>0$$ и $$BD^2>0$$, то

$$AC^2>AB^2,\qquad AD^2>AB^2,$$

следовательно,

$$AC>AB,\qquad AD>AB.$$

Значит, любая наклонная больше перпендикуляра.

Если $$AC=AD$$, то из равенства квадратов получаем:

$$AB^2+BC^2=AB^2+BD^2,$$

откуда

$$BC=BD.$$

То есть равные наклонные имеют равные проекции.