Упр.12.6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Стороны треугольника $$4\ \text{м}$$, $$5\ \text{м}$$ и $$6\ \text{м}$$. Найдите проекции сторон $$4\ \text{м}$$ и $$5\ \text{м}$$ на прямую, содержащую сторону $$6\ \text{м}$$.

Подробный ответ

Пусть $$\triangle ABC$$ таков, что $$AC=4\text{ м},\; BC=5\text{ м},\; AB=6\text{ м}.$$ Опустим из точки $$C$$ высоту $$CD$$ на прямую $$AB$$. Тогда отрезки $$AD$$ и $$DB$$ являются проекциями сторон $$AC$$ и $$BC$$ на прямую, содержащую сторону $$AB$$.

Найдём $$DB$$. По теореме косинусов для треугольника $$CBD$$:

$$BC^2=BD^2+CD^2$$

А для треугольника $$ABC$$:

$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot DB$$

Отсюда

$$DB=\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2AB} =\frac{6^2+5^2-4^2}{2\cdot 6} =\frac{36+25-16}{12} =\frac{45}{12}=3{,}75\text{ м}.$$

Теперь найдём $$AD$$:

$$AD=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB} =\frac{6^2+4^2-5^2}{2\cdot 6} =\frac{36+16-25}{12} =\frac{27}{12}=2{,}25\text{ м}.$$

Ответ: $$2{,}25\text{ м}$$ и $$3{,}75\text{ м}$$.