Вопрос 6 Параграф 10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Докажите, что равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине. И обратно: одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине, равны.
Пусть $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}.$$ Тогда существует параллельный перенос, при котором точка $$A$$ переходит в точку $$C$$, а точка $$B$$ — в точку $$D$$.
При параллельном переносе отрезок $$AB$$ переходит в отрезок $$CD$$, значит
$$AB \parallel CD \quad \text{и} \quad AB=CD.$$
Следовательно, векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{CD}$$ имеют равные длины, то есть равны по абсолютной величине.
Так как прямые $$AB$$ и $$CD$$ параллельны, а точки $$B$$ и $$D$$ лежат по одну сторону от секущей $$AC$$, то лучи $$AB$$ и $$CD$$ одинаково направлены. Значит, и векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{CD}$$ одинаково направлены.
Обратно, пусть векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{CD}$$ одинаково направлены и равны по абсолютной величине, то есть
$$AB \parallel CD \quad \text{и} \quad AB=CD.$$
Рассмотрим параллельный перенос, переводящий точку $$C$$ в точку $$A$$. Так как векторы одинаково направлены, этот перенос совмещает полупрямую $$CD$$ с полупрямой $$AB$$. А поскольку $$CD=AB$$, точка $$D$$ перейдёт в точку $$B$$.
Значит, данный параллельный перенос переводит вектор $$\overrightarrow{CD}$$ в вектор $$\overrightarrow{AB}$$, то есть
$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}.$$
Итак, равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине, и обратно: одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине, равны.
