Упр.6.6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

2) Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок, заключённый между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам.
I)
Дано: расстояния от точки пересечения диагоналей параллелограмма
до двух его вершин равны 3 см и 4 см:
Найти: расстояния от этой точки до двух других вершин;
Решение:
1) Расстоянием между двумя точками является длина отрезка с концами
в этих точках;
2) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам,
значит расстояния от точки пересечения диагоналей до двух других
вершин равны расстояниям от этой точки до двух других вершин, то
есть 3 см и 4 см;
Ответ: 3 см и 4 см.
II) Отобразим условие задачи:
Дано: через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена
прямая;
Доказать: отрезок, заключенный между параллельными сторонами,
делится этой точкой пополам;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-данный параллелограмм, O-точка пересечения его
диагоналей, а E, F-точки пересечения прямой, проходящей через
точку O и сторон AB и CD;
2) Углы EOA и FOC равны как вертикальные;
3) Углы BAC и DCA равны как внутренние накрест лежащие при
параллельных прямых AB и CD и секущей AC;
4) Отрезки AO и OC равны согласно теореме 6.2;
5) Значит треугольники EOA и COF равны по второму признаку, отсюда
EO=OF, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

1) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Значит, если точка пересечения диагоналей находится на одинаковом расстоянии от двух вершин, то до двух других вершин она находится на таких же расстояниях.

Следовательно, искомые расстояния равны $$3\text{ см}$$ и $$4\text{ см}$$.

2) Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм, $$O$$ — точка пересечения его диагоналей, а $$E$$ и $$F$$ — точки пересечения прямой, проходящей через $$O$$, со сторонами $$AB$$ и $$CD$$.

Рассмотрим треугольники $$EOA$$ и $$COF$$.

$$\angle EOA=\angle FOC$$ как вертикальные.

Так как $$AB \parallel CD$$, то $$\angle EAO=\angle FCO$$ как накрест лежащие углы при секущей $$AC$$.

Кроме того, диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, значит $$AO=OC$$.

Следовательно, $$\triangle EOA \cong \triangle COF$$ по двум углам и заключённой между ними стороне. Отсюда

$$EO=OF$$.

Значит, точка $$O$$ делит отрезок, заключённый между параллельными сторонами, пополам.