Упр.11.59 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что острый угол между хордой окружности и касательной к окружности в конце хорды равен половине угла между радиусами, проведёнными к концам хорды (рис. 264, б).

Пусть $$O$$ — центр окружности, $$AC$$ — хорда, а $$CD$$ — касательная в точке $$C$$.

Так как $$AO=OC$$, то треугольник $$AOC$$ равнобедренный. Следовательно, его углы при основании равны:

$$\angle OAC=\angle ACO=\frac{180^\circ-\angle AOC}{2}=90^\circ-\frac{1}{2}\angle AOC.$$

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, значит

$$\angle DCO=90^\circ.$$

Тогда острый угол между хордой $$AC$$ и касательной $$CD$$ равен

$$\angle DCA=\angle DCO-\angle ACO=90^\circ-\left(90^\circ-\frac{1}{2}\angle AOC\right)=\frac{1}{2}\angle AOC.$$

Что и требовалось доказать.