Упр.6.59 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Боковая сторона трапеции разделена на три равные части, и из точек деления проведены к другой стороне отрезки, параллельные основаниям. Найдите длины этих отрезков, если основания трапеции равны $$2\ \text{м}$$ и $$5\ \text{м}$$.

Обозначим длины искомых отрезков через $$EE_1=x$$ и $$FF_1=y$$.

Так как боковая сторона трапеции разделена на три равные части, а через точки деления проведены прямые, параллельные основаниям, то по теореме Фалеса соответствующие отрезки на другой боковой стороне тоже делятся на три равные части. Поэтому в трапециях $$AEE_1D$$ и $$EFF_1E_1$$ отрезки $$EE_1$$ и $$FF_1$$ являются средними линиями.

Тогда

$$EE_1=\frac{AD+FF_1}{2}, \qquad FF_1=\frac{BC+EE_1}{2}.$$

Подставим $$AD=5$$ м, $$BC=2$$ м:

$$x=\frac{5+y}{2}, \qquad y=\frac{2+x}{2}.$$

Из второго уравнения получаем $$y=\frac{x+2}{2}$$. Подставим в первое:

$$x=\frac{1}{2}\left(\frac{x+2}{2}+5\right) =\frac{1}{2}\left(\frac{x}{2}+6\right) =\frac{x}{4}+3.$$

$$x-\frac{x}{4}=3,\qquad \frac{3x}{4}=3,\qquad x=4.$$

Тогда

$$y=\frac{4+2}{2}=3.$$

Следовательно, длины искомых отрезков равны $$4$$ м и $$3$$ м.

Ответ: $$3$$ м и $$4$$ м.