Упр.8.58 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 58. Известно, что tg альфа =- 5/12. Найдите sin альфа и cos альфа.

Так как $$\tg \alpha=-\frac{5}{12}$$, то тангенс отрицательный, значит угол $$\alpha$$ лежит во II четверти. Следовательно, $$\sin \alpha>0$$, а $$\cos \alpha<0$$.

Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\tg^2 \alpha+1=\frac{1}{\cos^2 \alpha}.$$

Тогда

$$\cos \alpha=-\sqrt{\frac{1}{\tg^2 \alpha+1}}=-\sqrt{\frac{1}{\left(-\frac{5}{12}\right)^2+1}}.$$

Вычислим:

$$\cos \alpha=-\sqrt{\frac{1}{\frac{25}{144}+1}}=-\sqrt{\frac{1}{\frac{169}{144}}}=-\sqrt{\frac{144}{169}}=-\frac{12}{13}.$$

Теперь найдём синус по формуле $$\tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$:

$$\sin \alpha=\tg \alpha\cdot \cos \alpha=-\frac{5}{12}\cdot\left(-\frac{12}{13}\right)=\frac{5}{13}.$$

Ответ

$$\sin \alpha=\frac{5}{13},\quad \cos \alpha=-\frac{12}{13}.$$