Упр.7.58 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение: 58. Радиус окружности равен 5 м. Из точки, отстоящей от центра на 13 м, проведены касательные к окружности. Найдите длины касательных и угол между ними. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 pogorelov7-9 7-58 76

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр окружности, $$A$$ — данная точка, а $$B$$ и $$C$$ — точки касания. Тогда $$OA=13$$ м, $$OB=OC=5$$ м.

По свойству касательной радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, значит $$OB \perp AB$$ и $$OC \perp AC$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOB$$. По теореме Пифагора:

$$ AB=\sqrt{AO^2-OB^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\text{ м}. $$

Аналогично $$AC=12$$ м.

Найдём угол между касательными. В прямоугольном треугольнике $$AOB$$:

$$ \sin \angle BAO=\frac{OB}{AO}=\frac{5}{13}. $$

Отсюда $$\angle BAO \approx 22^\circ37’$$.

Треугольники $$AOB$$ и $$AOC$$ равны, поэтому $$\angle BAO=\angle OAC$$. Тогда угол между касательными равен

$$ \angle BAC=\angle BAO+\angle OAC=2\cdot 22^\circ37’=45^\circ14′. $$