Упр.14.58 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите отношение площади круга, описанного около квадрата, к площади круга, вписанного в него.

Пусть $$a$$ — сторона квадрата, $$R$$ — радиус описанного около него круга, $$r$$ — радиус вписанного круга.

Выразим радиусы через сторону квадрата:

$$R=\frac{a}{\sqrt{2}}, \qquad r=\frac{a}{2}.$$

Тогда отношение площадей равно:

$$\frac{S_{\text{опис}}}{S_{\text{впис}}} = \frac{\pi R^2}{\pi r^2} = \left(\frac{R}{r}\right)^2 = \left(\frac{a/\sqrt{2}}{a/2}\right)^2 = \left(\frac{2}{\sqrt{2}}\right)^2 = 2.$$

Ответ: $$2$$.