Упр.11.58 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что геометрическое место вершин углов с заданной градусной мерой, стороны которых проходят через две данные точки, а вершины лежат по одну сторону от прямой, соединяющей эти точки, есть дуга окружности с концами в этих точках (рис. 264, а).
Пусть $$A$$ и $$B$$ — данные точки, а $$\angle AMB=\alpha$$ — заданный угол.
Проведём дугу окружности с концами в точках $$A$$ и $$B$$, на которой лежит точка $$M$$, и обозначим через $$O$$ центр этой окружности.
Тогда по теореме о вписанном угле
$$\angle AMB=\frac12\angle AOB=\alpha.$$
Докажем, что любая точка, удовлетворяющая условию, лежит именно на этой дуге.
Пусть существует точка $$X$$, лежащая внутри данной дуги, такая что $$\angle AXB=\alpha$$, а прямые $$AX$$ и $$BX$$ пересекают окружность в точках $$P_1$$ и $$P_2$$. Тогда по теореме о внешнем и внутреннем углах, образованных хордами окружности,
$$\angle AXB=\frac12\angle AOB-\frac12\angle P_1OP_2.$$
Но $$\angle P_1OP_2\ne 0$$, значит
$$\angle AXB\ne \frac12\angle AOB=\alpha,$$
что противоречит условию.
Аналогично, если точка $$Y$$ лежит вне данной дуги и $$\angle AYB=\alpha$$, а прямые $$AY$$ и $$BY$$ пересекают окружность в точках $$K_1$$ и $$K_2$$, то
$$\angle AYB=\frac12\angle AOB+\frac12\angle K_1OK_2.$$
Так как $$\angle K_1OK_2\ne 0$$, получаем
$$\angle AYB\ne \frac12\angle AOB=\alpha,$$
что также невозможно.
Следовательно, все вершины углов с заданной градусной мерой, стороны которых проходят через точки $$A$$ и $$B$$, а вершины лежат по одну сторону от прямой $$AB$$, принадлежат дуге окружности с концами в точках $$A$$ и $$B$$. Обратно, каждая точка этой дуги даёт угол данной величины.
